સંકલન int_{0}^{1} x cot^{-1}(1 - x^2 + x^4) d | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે $I = \int_{0}^{1} x \cot^{-1}(1 - x^2 + x^4) dx$.ગુણધર્મ $\cot^{-1}(u) = 	an^{-1}(\frac{1}{u})$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે:$I = \int_{0}^{1}

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \log_e 2$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે $I = \int_{0}^{1} x \cot^{-1}(1 - x^2 + x^4) dx$.ગુણધર્મ $\cot^{-1}(u) = 	an^{-1}(\frac{1}{u})$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે:$I = \int_{0}^{1} x 	an^{-1}\left(\frac{1}{1 - x^2 + x^4}ight) dx$.આપણે દલીલને $\frac{x^2 - (x^2 - 1)}{1 + x^2(x^2 - 1)}$ તરીકે લખી શકીએ.તેથી,$I = \int_{0}^{1} x \left[ 	an^{-1}(x^2) - 	an^{-1}(x^2 - 1) ight] dx$.ધારો કે $x^2 = t$,તો $2x dx = dt$,તેથી $x dx = \frac{1}{2} dt$.જ્યારે $x=0, t=0$ અને જ્યારે $x=1, t=1$.$I = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} 	an^{-1}(t) dt - \frac{1}{2} \int_{0}^{1} 	an^{-1}(t - 1) dt$.બીજા સંકલન પર $\int_{0}^{a} f(t) dt = \int_{0}^{a} f(a - t) dt$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:$I = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} 	an^{-1}(t) dt - \frac{1}{2} \int_{0}^{1} 	an^{-1}(1 - t - 1) dt = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} 	an^{-1}(t) dt - \frac{1}{2} \int_{0}^{1} 	an^{-1}(-t) dt$.કારણ કે $	an^{-1}(-t) = -	an^{-1}(t)$:$I = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} 	an^{-1}(t) dt + \frac{1}{2} \int_{0}^{1} 	an^{-1}(t) dt = \int_{0}^{1} 	an^{-1}(t) dt$.ખંડશઃ સંકલન કરતા: $\int 	an^{-1}(t) dt = t 	an^{-1}(t) - \int \frac{t}{1+t^2} dt = t 	an^{-1}(t) - \frac{1}{2} \ln(1+t^2)$.$0$ થી $1$ સુધી મૂલ્ય શોધતા:$I = [1 \cdot 	an^{-1}(1) - \frac{1}{2} \ln(2)] - [0 - 0] = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \ln 2$.

સંકલન $\int_{0}^{1} x \cot^{-1}(1 - x^2 + x^4) dx$ નું મૂલ્ય શું છે?

Similar Questions

$\int_{0}^{1} \frac{dx}{x + \sqrt{1 - x^2}}$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $L = \sqrt[3]{2012} + \sqrt[3]{2013} + \ldots + \sqrt[3]{3011}$,$R = \sqrt[3]{2013} + \sqrt[3]{2014} + \ldots + \sqrt[3]{3012}$,અને $I = \int_{2012}^{3012} \sqrt[3]{x} \, dx$. તો,

$\int_{1/2}^{2} \frac{1}{x} \sin \left( x - \frac{1}{x} \right) dx = $

$m, n \in \mathbb{Z}$ માટે $\int_0^{2 \pi} \cos m x \cos n x \, dx + \int_{-\pi}^\pi \sin m x \cos n x \, dx$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module